Pasos para calcular el término general de una sucesión

 

        En este apartado veremos qué pasos han de darse para que, partiendo de una sucesión sencilla, podamos calcular su término general 

1.- Comprobamos si es una progresión aritmética.

    8, 3, -2, -7, -12, ...

            3 - 8= -5

            -2 - 3 = -5

            -7 - (-2) = -5

            -12 - (-7) = -5

        d = -5   -->  a _n= 8 + (n - 1) (-5) = 8 -5n +5 = -5n + 13

2.- Comprobar si es una progresión geométrica.

    3, 6, 12, 24, 48, ...

            6 / 3 = 2

            12 / 6 = 2

            24 / 12 = 2

            48 / 24 = 2

        r = 2  -->  a_n = 3· 2 ^n-1

3.- Comprobar si los términos son cuadrados perfectos.

    4, 9, 16, 25, 36, 49, ...

    2², 3², 4², 5², 6², 7², ...

            Observamos que las bases están en progresión aritmética, siendo d = 1, y el exponente es constante.

                b_n= 2 + (n - 1) · 1 = 2 + n -1 = n+1

    Por lo que el término general es: a_n= (n + 1)²

4.- También nos podemos encontrar con sucesiones cuyos términos son números próximos a cuadrados perfectos.

    Ejemplo 1)     5, 10, 17, 26, 37, 50, ...

            2² +1 , 3² +1, 4² +1, 5² +1, 6² +1 , 7² +1, ...

            Hallamos el término general como vimos en el ejemplo anterior y le sumamos 1.

        a_n= (n + 1)² + 1

    Ejemplo 2)    6, 11, 18, 27, 38, 51, ...

            2² +2 , 3² +2, 4² +1, 5² +2, 6² +2 , 7² +2, ...

        a_n= (n + 1)² - 1

    Ejemplo 3)     3, 8, 15, 24, 35, 48, ...

            2² -1 , 3² -1, 4² -1, 5² -1, 6² -1 , 7² -1, ...

        a_n= (n + 1)² - 1

    Ejemplo 4)     2, 7, 14, 23, 34, 47, ...

            2² -2 , 3² -2, 4² -2, 5² -2, 6² -2 , 7² -2, ...

        a_n= (n + 1) ² - 2

5.- Si los términos de la sucesión cambian consecutivamente de signo.

        a) Si los términos impares son negativos y los pares positivos: Multiplicamos a_n por (-1)ⁿ.

                -4, 9, -16, 25, -36, 49, ...

                a_n= (-1)ⁿ (n + 1)²

        b) Si los términos impares son positivos y los pares negativos: Multiplicamos a_n por (-1)^n-1.

                4, -9, 16, -25, 36, -49, ...

                a_n= (-1)^n-1 (n + 1) ²

6.- Si los términos de la sucesión son fraccionarios (no siendo una progresión).

        Se calcula el término general del numerador y denominador por separado.

        a_n= b_n /c_n

                2/4, 5/9, 8/16, 11/25, 14/36,...

            Tenemos dos sucesiones:

            Sucesión del numerador   2, 5, 8, 11, 14, ...

            Sucesión del denominador 4, 9, 16, 25, 36, ...

            La del numerador es una progresión aritmética con d=3 y  la del denominador es una sucesión de cuadrados perfectos.

                a_n= (3n - 1)/(n + 1)²